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Suites numériques

Module 2 de l'unité U21. Les suites modélisent tout ce qui évolue par étapes : amortissement d'un emprunt, croissance d'un parc, complexité d'un algorithme récursif.

1. Définitions

Une suite numérique (u_n) est une fonction de ℕ dans ℝ : à chaque rang n elle associe un terme u_n.

La forme explicite permet de calculer directement u₁₀₀₀ ; la forme récurrente oblige à parcourir tous les termes précédents. Cette différence de coût est exactement celle qu'on retrouve entre une formule fermée et une boucle en programmation.

2. Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique de raison r si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même valeur.

Exemple : u₀ = 5 et r = 3 donne 5, 8, 11, 14… et u₂₀ = 5 + 20 × 3 = 65.

3. Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison q si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur.

Exemple : un parc de 400 postes renouvelé avec une baisse de 15 % par an. La raison est q = 1 − 0,15 = 0,85, donc u_n = 400 × 0,85ⁿ. Au bout de 5 ans : 400 × 0,85⁵ ≈ 177 postes.

Piège classique des évolutions en pourcentage : une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au point de départ. Le coefficient global vaut 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse de 4 %.

4. Sommes de termes

Cas particulier à connaître : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2. C'est cette formule qui donne la complexité en O(n²) d'un tri par sélection ou d'une double boucle imbriquée.

5. Variations et limites

Pour étudier le sens de variation, on regarde le signe de u_n+1 − u_n.

• Suite arithmétique : croissante si r > 0, décroissante si r < 0.
• Suite géométrique à termes positifs : croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1.

Comportement de qⁿ quand n tend vers l'infini :

Une suite est convergente si elle admet une limite finie, divergente sinon.

6. Récurrence et algorithmique

Le raisonnement par récurrence démontre une propriété P(n) pour tout entier n ≥ n₀ en deux étapes :

1. Initialisation : vérifier P(n₀).
2. Hérédité : supposer P(n) vraie pour un n quelconque, et démontrer P(n + 1).

C'est le pendant mathématique de la récursivité : le cas de base correspond à l'initialisation, l'appel récursif à l'hérédité. Une fonction récursive sans cas de base boucle indéfiniment, exactement comme une récurrence sans initialisation ne démontre rien.

def suite_geometrique(u0, q, n):
    # Version itérative : O(n)
    u = u0
    for _ in range(n):
        u = u * q
    return u

def suite_explicite(u0, q, n):
    # Version fermée : O(1)
    return u0 * (q ** n)

7. Applications