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Calcul matriciel 2

Module 3 de l'unité U21. Les matrices servent à résoudre des systèmes, à représenter des graphes et à transformer des images.

1. Vocabulaire

Une matrice de dimension n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Le coefficient situé ligne i, colonne j se note a_ij.

        ⎛ 2   0   5 ⎞
    A = ⎜           ⎟      dimension 2 × 3
        ⎝ 1  −3   4 ⎠      a₂₁ = 1,  a₁₃ = 5

2. Opérations élémentaires

Addition : possible uniquement entre matrices de même dimension, coefficient par coefficient.

⎛ 1  2 ⎞   ⎛ 5  0 ⎞   ⎛ 6  2 ⎞
⎜      ⎟ + ⎜      ⎟ = ⎜      ⎟
⎝ 3  4 ⎠   ⎝ 1  2 ⎠   ⎝ 4  6 ⎠

Multiplication par un réel : on multiplie chaque coefficient.

     ⎛ 1  2 ⎞   ⎛ 3   6 ⎞
 3 × ⎜      ⎟ = ⎜       ⎟
     ⎝ 3  4 ⎠   ⎝ 9  12 ⎠

3. Le produit matriciel

Le produit A × B n'existe que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est n × p et B est p × m, alors A × B est n × m.

Le coefficient (i, j) du produit s'obtient en combinant la ligne i de A et la colonne j de B :

c(i,j) = a(i,1)×b(1,j) + a(i,2)×b(2,j) + … + a(i,p)×b(p,j)

⎛ 1  2 ⎞   ⎛ 5  6 ⎞   ⎛ 1×5+2×7   1×6+2×8 ⎞   ⎛ 19  22 ⎞
⎜      ⎟ × ⎜      ⎟ = ⎜                    ⎟ = ⎜        ⎟
⎝ 3  4 ⎠   ⎝ 7  8 ⎠   ⎝ 3×5+4×7   3×6+4×8 ⎠   ⎝ 43  50 ⎠

Le produit matriciel n'est pas commutatif : A × B et B × A donnent en général des résultats différents, quand les deux existent. Autre différence avec les réels : un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit.

4. Matrice identité et inverse

La matrice identité I_n a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. Elle joue le rôle du nombre 1 : A × I = I × A = A.

       ⎛ 1  0 ⎞
  I₂ = ⎜      ⎟
       ⎝ 0  1 ⎠

Une matrice carrée A est inversible s'il existe A⁻¹ telle que A × A⁻¹ = I.

Pour une matrice 2 × 2, on calcule d'abord le déterminant :

     ⎛ a  b ⎞
 A = ⎜      ⎟        det(A) = ad − bc
     ⎝ c  d ⎠

                        1     ⎛  d  −b ⎞
 si det(A) ≠ 0 :  A⁻¹ = ───── ⎜        ⎟
                        det A ⎝ −c   a ⎠

Si det(A) = 0, la matrice n'est pas inversible : on dit qu'elle est singulière. Le système associé n'a alors pas de solution unique.

5. Résolution de systèmes

Tout système linéaire s'écrit sous forme matricielle A × X = B, où X est le vecteur des inconnues.

⎧ 2x + 3y = 8          ⎛ 2  3 ⎞   ⎛ x ⎞   ⎛ 8 ⎞
⎨                 ⇔    ⎜      ⎟ × ⎜   ⎟ = ⎜   ⎟
⎩  x −  y = 1          ⎝ 1 −1 ⎠   ⎝ y ⎠   ⎝ 1 ⎠

Si A est inversible, la solution est unique : X = A⁻¹ × B.

det(A) = 2×(−1) − 3×1 = −5

           1   ⎛ −1  −3 ⎞     ⎛ 0,2   0,6 ⎞
  A⁻¹ =  ───── ⎜        ⎟  =  ⎜           ⎟
          −5   ⎝ −1   2 ⎠     ⎝ 0,2  −0,4 ⎠

        ⎛ 0,2   0,6 ⎞   ⎛ 8 ⎞   ⎛ 2,2 ⎞
  X =   ⎜           ⎟ × ⎜   ⎟ = ⎜     ⎟     donc x = 2,2  et  y = 1,2

En pratique, sur de grands systèmes, on n'inverse jamais la matrice : on utilise le pivot de Gauss, bien moins coûteux et numériquement plus stable.

6. Applications informatiques

• Graphes : la matrice d'adjacence code les arcs ; sa puissance k-ième donne le nombre de chemins de longueur k. Voir la fiche Graphes et ordonnancement.
• Images : une image en niveaux de gris est une matrice de pixels. Les filtres (flou, détection de contours) s'appliquent par convolution avec une petite matrice appelée noyau.
• Transformations géométriques : rotations, homothéties et projections en 2D ou 3D sont des produits matriciels — c'est le cœur du pipeline graphique d'un moteur de rendu.
• Cryptographie : le chiffre de Hill chiffre des blocs de lettres par produit matriciel modulo 26 ; le déchiffrement utilise la matrice inverse.
• Analyse de données : les tableaux croisés, les chaînes de Markov et les réseaux de neurones se ramènent à des produits de matrices.